Question

f（x）为偶函数且定义域为[-1，1]，g（x）的图象与f（x）的图象关于直线x=1对称，当x∈[2，3]时，g（x）=2a（x-2）-3（x-2）²，a为实数且；
（1）求f（x）解析式；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）若f（x）的最大值为12，求a．

Answer

（1）依据g（x）的图象与f（x）的图象关于直线x=1对称，求出f（x）的解析式．
（2）先判断f（x）在[0，1]的单调性，根据其是偶函数，分析出f（x）在[-1，0]的单调性．
（3）依据（2）中的结论，求出函数取最大值时x的值，代入求出a的值．
【解析】
（1）∵g（x）的图象与f（x）的图象关于直线x=1对称，
∴f（x）=g（2-x）．当x∈[-1，0]时，则2-x∈[2，3]，
∴f（x）=g（2-x）=2a（2-x-2）-3（2-x-2）2=-2ax+3x2，
即f（x）=-2ax+3x2
当x∈[0，1]时，根据偶函数关于y轴对称可得 f（x）=f（-x）=2ax+3x2
综上所述，当x∈[-1，0]时，f（x）=-2ax+3x2； 当x∈[0，1]时，f（x）=f（-x）=2ax+3x2．
（2）在[0，1]上任取x1，x2满足0≤x1＜x2≤1
则f（x1）-f（x2）=2ax1+3x12-2ax2-3x22
=2a（x1-x2）+3（x12-x22）
=[2a+3（x1+x2）]（x1-x2） 
∵0≤x1＜x2≤1∴x1-x2＜0，2a+3（x1+x2）＞0
即[2a+3（x1+x2）]（x1-x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）
∴f（x）在区间[0，1]上单调递增．
∵f（x）为偶函数，根据偶函数关于y轴对称的性质可得f（x）在区间[0，1]单调递减
（3）由（2）可知函数最大值是f（1）或f（-1），
∴f（1）=2a-3=12，
解得a=