Question

设x、y、z∈R⁺且3^x=4^y=6^z
（1）求使2x=py的p的值 （2）求与（1）中所求P的差最小的整数
（3）求证：（4）比较3x、4y、6z的大小．

Answer

（1）可令3x=4y=6z=k，利用指对数互化，对数的运算性质解答．
（2）判断P的取值范围，找出与它最接近的2个整数，计算P与这2个整数的差．
（3）计算等式的左边和右边的值相等，等式得到证明．
（4）这3个数都是正数，比较它们的倒数的大小，从而得到这3个数大小关系．
【解析】
（1）令3x=4y=6z=k，则 x=log3k，y=log4k，z=log6k，∵2x=py，
∴2log3k=plog4k，∴P==2=2log34．
（2）∵2log34=log316，2＜log316＜3，即 2＜p＜3，
∵P-2=，3-P=，＞，∴P-2＞3-P，
与P的差最小的整数是3．
（3）∵-=logk6-logk3=logk2，=•logk4=logk2，
∴．
（4）3x=3log3k，4y=4log4k、6z=6log6k，又x、y、z∈R+，∴k＞1，
∵=-=＞0，∴3x＜4y，
同理可求，=＞0，∴4y＜6z，∴3x＜4y＜6z