Question

已知数列{a_n}的通项为a_n，前n项和为s_n，且a_n是s_n与2的等差中项，数列{b_n}中，b₁=1，点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上．
（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式a_n，b_n
（Ⅱ）设{b_n}的前n项和为B_n，试比较与2的大小．
（Ⅲ）设T_n=，若对一切正整数n，T_n＜c（c∈Z）恒成立，求c的最小值．

Answer

（Ⅰ）利用已知条件得出数列的通项和前n项和之间的等式关系，再结合二者间的基本关系，得出数列{an}的通项公式，根据{bn}的相邻两项满足的关系得出递推关系，进一步求出其通项公式；
（Ⅱ）利用放缩法转化各项是解决该问题的关键，将所求的各项放缩转化为能求和的一个数列的各项估计其和，进而达到比较大小的目的；
（Ⅲ）利用错位相减法进行求解Tn是解决本题的关键，然后对相应的和式进行估计加以解决．
【解析】
（Ⅰ）由题意可得2an=sn+2，
当n=1时，a1=2，
当n≥2时，有2an-1=sn-1+2，两式相减，整理得an=2an-1即数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，故an=2n．
点P（bn，bn+1）在直线x-y+2=0上得出bn-bn+1+2=0，即bn+1-bn=2，
即数列{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列，
因此bn=2n-1．
（Ⅱ）Bn=1+3+5+…+（2n-1）=n2
∴
=．
（Ⅲ）Tn=①
②
①-②得
∴
又
∴满足条件Tn＜c的最小值整数c=3．