Question

已知函数f（x）（x∈R）满足下列条件：对任意的实数x₁，x₂都有λ（x₁-x₂）²≤（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]和|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|，其中λ是大于0的常数，设实数a，a，b满足f（a）=0和b=a-λf（a）
（Ⅰ）证明λ≤1，并且不存在b≠a，使得f（b）=0；
（Ⅱ）证明（b-a）²≤（1-λ²）（a-a）²；

Answer

（Ⅰ）要证明λ≤1，并且不存在b≠a，使得f（b）=0，由已知条件λ（x1-x2）2≤（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]和|f（x1）-f（x2）|≤|x1-x2|合并，可以直接得出λ≤1，再假设有b≠a，使得f（b）=0，根据已知判断出矛盾即得到不存在b≠a，使得f（b）=0．
（Ⅱ）要证明（b-a）2≤（1-λ2）（a-a）2；把不等式两边（b-a）2和（1-λ2）（a-a）2分别用题中的已知等式化为同一的函数值得形式，再证明不等式成立即可．
证明：（I）任取x1，x2⊂R，x1≠x2，则由λ（x1-x2）2≤（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]①
和|f（x1）-f（x2）|≤|x1-x2|②
可知λ（x1-x2）2≤（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]≤|x1-x2|•|f（x1）-f（x2）|≤|x1-x2|2，
从而λ≤1．
假设有b≠a，使得f（b）=0，则由①式知0＜λ（a-b）2≤（a-b）[f（a）-f（b）]=0矛盾．
∴不存在b≠a，使得f（b）=0．
（II）由b=a-λf（a）③
可知（b-a）2=[a-a-λf（a）]2=（a-a）2-2λ（a-a）f（a）+λ2[f（a）]2④
由f（a）=0和①式，得（a-a）f（a）=（a-a）[f（a）-f（a）]≥λ（a-a）2⑤
由和②式知，[f（a）]2=[f（a）-f（a）]2≤（a-a）2⑥
由⑤、⑥代入④式，得（b-a）2≤（a-a）2-2λ2（a-a）2+λ2（a-a）2=（1-λ2）（a-a）2
即不等式（b-a）2≤（1-λ2）（a-a）2得证．