Question

已知奇函数f（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上有定义，在（0，+∞）上是增函数，f（1）=0，又知函数g（θ）=sin²θ+mcosθ-2m，，集合M={m|恒有g（θ）＜0}，N={m|恒有f（g（θ））＜0}，求M∩N．

Answer

利用奇函数在对称区间的单调性相同得到f（x）在在（-∞，0）上也是增函数，f（-1）=0，将集合N中的0用f（-1）代替，利用f（x）的单调性将f脱去，利用三角函数的平方关系将正弦用余弦表示，通过换元转化为二次不等式恒成立，通过转化为求二次函数的最值，通过对对称轴的讨论求出最值．
【解析】
∵奇函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，∴f（x）在（-∞，0）上也是增函数，
又由f（1）=0得f（-1）=-f（1）=0
∴满足的条件是
即，即sin2θ+mcosθ-2m＜-1，
也即-cos2θ+mcosθ-2m+2＜0．
令t=cosθ，则t∈[0，1]，又设δ（t）=-t2+mt-2m+2，0≤t≤1
要使δ（t）＜0，必须使δ（t）在[0，1]内的最大值小于零
1°当＜0即m＜0时，δ（t）max=δ（0）=-2m+2，解不等式组知m∈∅
2°当0≤≤1即0≤m≤2时，δ（t）max=，
由＜0，解得，故有
当＞1即m＞2时，δ（t）max=-m+1，解不等式组得m＞2
综上：