Question

已知函数，（1）证明：|t+x|+|t-x|＜|f（tx+1）|
（2）设x是正实数，求证：[f（x+1）]ⁿ-f（xⁿ+1）≥2ⁿ-2．

Answer

（1）由题设知，由0＜|x|＜1，0＜|t|＜1，知|tx|≠1，|f（tx+1）|＞2s=（|t+x|+|t-x|2）=2（t2+x2）+2|t2-x2|-（|t+x|+|t-x|）2=2（t2+x2）+2|t2-x2|，由此能证明|t+x|+|t-x|＜|f（tx+1）|．
（2），=Cn1+Cn2+…+Cnn-1=2n-2．
证明：（1）∵，∴，
∴，
当且仅当|tx|=1时，上式取等号．
∵0＜|x|＜1，0＜|t|＜1，
∴|tx|≠1，
∴|f（tx+1）|＞2s=（|t+x|+|t-x|2=2（t2+x2）+2|t2-x2|-（|t+x|+|t-x|）2=2（t2+x2）+2|t2-x2|
当|t|≥|x|时，s=4t2≤4；当|t|≤|x|时s=4x2＜4
∴|t+x|+|t-x|≤2＜|f（tx+1）|即|t+x|+|t-x|＜|f（tx+1）|
（2）n=1时，结论显然成立
当n≥2时，=

=Cn1+Cn2+…+Cnn-1=2n-2．