Question

已知i，m，n是正整数，且1＜i≤m＜n．
（1）证明nⁱP_mⁱ＜mⁱP_nⁱ；
（2）证明（1+m）ⁿ＞（1+n）^m．

Answer

（1）先将要证的不等式变形为分别含m，n的式子，再利用排列数公式，据不等式的性质得证
（2）利用二项式定理再利用（1）的结论和排列数和组合数的关系得证．
证明：（1）对于1＜i≤m有pmi=m••（m-i+1），，
同理，
由于m＜n，对整数k=1，2，i-1，有，
所以，即mipni＞nipmi．
（2）由二项式定理有，
，
由（1）知mipni＞nipmi（1＜i≤m＜n），
而，，
所以，miCni＞niCmi（1＜i≤m＜n）．
因此，．
又mCn=nCm=1，mCn1=nCm1=mn，miCni＞0（1＜i≤m＜n）．
∴．
即（1+m）n＞（1+n）m．