Question

若a₁＞0，a₁≠1，a_n+1=（n=1，2，…）
（1）求证：a_n+1≠a_n；
（2）令a₁=，写出a₂、a₃、a₄、a₅的值，观察并归纳出这个数列的通项公式a_n．

Answer

（1）采用反证法证明，先假设两种相等，代入已知的等式中即可求出an的值为常数0或1，进而得到此数列为是0或1的常数列，与已知a1＞0，a1≠1矛盾，所以假设错误，两种不相等；
（2）把n=1及a1=代入已知的等式即可求出a2的值，把n=2及a2的值代入已知的等式即可求出a3的值，把n=3及a3的值代入已知等式即可求出a4的值，把n=4及a4的值代入已知的等式即可求出a5的值，然后把求出的五项的值变形后，即可归纳总结得到这个数列的通项公式an．
【解析】
（1）证明：若an+1=an，
即=an，解得an=0或1．
从而an=an-1=…a2=a1=0或1，与题设a1＞0，a1≠1相矛盾，
故an+1≠an成立．
（2）由a1=，得到a2===，
a3===，
a4===，
a5===，
…，
则an=（n∈N*）．