Question

[理]已知函数f（x）=ax--2lnx，f（1）=0．
（1）若函数f（x）在其定义域内为单调函数，求a的取值范围；
（2）若函数f（x）的图象在x=1处的切线的斜率为0，且a_n+1=f′（）-n²+1，已知a₁=4，求证：a_n≥2n+2．

Answer

（1）先由f（1）=0得出a，b的关系式，再求出f（x）的导数，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，根据若函数f（x）在其定义域内为单调函数得到：在（0，+∞）内f′（x）恒大于等于0或恒小于等于0．最后对a分类讨论即可求出a的取值范围．
（2）先由题意求得f′（）．对于关于自然数n的命题：an+1=f′（）-n2+1，常用数学归纳法证明，
【解析】
（1）因为f（1）=a-b=0，所以a=b，
所以f（x）=ax--2lnx，
所以f′（x）=a+-．
要使函数f（x）在定义域（0，+∞）内为单调函数，
则在（0，+∞）内f′（x）恒大于等于0或恒小于等于0．
当a=0时，则f′（x）=-＜0在（0，+∞）内恒成立；适合题意．
当a＞0时，要使f′（x）=a（-）2+a-≥0恒成立，则a-≥0，解得a≥1；
当a＜0时，由f′（x）=a+-＜0恒成立，适合题意．
所以a的取值范围为（-∞，0]∪[1，+∞）．
（2）根据题意得：f′（1）=0，即a+a-2=0，得a=1，
所以f′（x）=（-1）2，
于是an+1=f′（）-n2+1=（an-n）2-n2+1
=an2-2nan+1．
用数学归纳法证明如下：
当n=1时，a1=4=2×1+2，
当n=2时，a2=9＞2×2+2；
假设当n=k（k≥2且k∈N*）时，不等式ak＞2k+2成立，即ak-2k＞2成立，
则当n=k+1时，ak+1=ak（ak-2k）+1＞（2k+2）×2+1=4k+5＞2（k+1）+2，
所以当n=k+1，不等式也成立，
综上得对所有n∈N*时，都有an≥2n+2．