Question

已知函数f（x）=，
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）求证：f（x）在R为增函数；
（3）求证：方程f（x）-lnx=0至少有一根在区间（1，3）．

Answer

（1） 由f（x）的解析式求得f（-x）的解析式，计算f（-x）+f（x）的值．
（2）设出2个自变量的值，计算这2个自变量的函数值的差，将差变形为因式积的形式，判断符号．
（3）证明g（x）=f（x）-lnx 在区间（1，3）的端点函数值异号．
（1）【解析】
函数f（x）=，的定义域为R，且f（x）==1-，
∴f（-x）+f（x）=1-+1-=2-（+）
=2-（+）=2-2=0，
即：f（-x）=-f（x），∴f（x）是奇函数．
（2）证明：设-∞＜x1＜x2＜+∞，f（x1）-f（x2）=-
=
∵-∞＜x1＜x2＜+∞，∴＞0，＞0，-＜0，
∴f（x）在R上是增函数．
（3）令g（x）=f（x）-lnx=-lnx，∵g（1）=-0=＞0，
g（3）=-ln3=-ln3＜0，
所以，方程 f（x）-lnx=0 至少有一根在区间（1，3）上．