Question

已知定义在正实数集上的函数f（x）满足①若x＞1，则f（x）＜0；②f=1；③对定义域内的任意实数x，y，都有：f（xy）=f（x）+f（y），则不等式f（x）+f（5-x）≥-2的解集为     ．

Answer

用函数的单调性求解，先证明单调性，设x1，x2∈（0，+∞）且x1＜x2，则有f（x2）=f（）=f（）+f（x1），f（x2）-f（x1））=f（）＜0，得到f（x）是减函数，然后构造单调性模型，由f=1求得2=2f=f（），再令x=y=1，求得f（1）=0，最后用定义求解，要注意所在的区间．
【解析】
∵f=1
∴2=2f=f（）
令x=y=1
∴f（1）=0
∵f（xy）=f（x）+f（y），
∴不等式f（x）+f（5-x）≥-2可转化为：
f（x（5-x））+f（）≥0
∴f（x（5-x））≥f（1）
设x1，x2∈（0，+∞）且x1＜x2
∴f（x2）=f（）=f（）+f（x1）
∴f（x2）-f（x1））=f（）＜0
∴f（x）是减函数
∴
解得：0＜x≤1或4≤x＜5
故答案为：（0，1]∪[4，5）