Question

关于x的不等式x²＜log_a（x+1）在（0，1）上恒成立，则a的取值范围是     ．

Answer

根据不等式恒成立得到，根据x的范围，x2取最大即x为1时，得到的不等式成立，讨论a大于1和小于1两种情况，根据对数函数的增减性得到a的取值范围．
【解析】
因为不等式x2＜loga（x+1）在（0，1）上恒成立等价于x∈（0，1）时x取最大值1，loga2≥12=1，
当a＞1时，对数函数为增函数，根据loga2≥logaa，得到1＜a≤2；当a＜1时，对数函数为减函数，根据loga2≥logaa，得到a≥2，而a＜1，所以无解．
所以不等式恒成立时，a的取值范围是（1，2]．
故答案为：（1，2]