Question

定义在R上的函数f（x）为奇函数，且在[0，+∞）为增函数，对任意θ∈R，不等式f（cos2θ-3）+f（2m-sinθ）＞0恒成立，则实数m的取值范围是     ．

Answer

本题是利用函数的单调性将抽象不等式变为三角不等式，再由三角函数的有界性求参数m的范围，本题中为了利用函数的单调性转化不等式需要根据函数的奇偶性将不等式f（cos2θ-3）+f（2m-sinθ）＞0变为f（cos2θ-3）＞f（-2m+sinθ），方便利用单调性转化．
【解析】
∵函数f（x）为奇函数且在[0，+∞）为增函数，易知函数f（x）为在（-∞，0]上递增，
∴函数f（x）在（-∞，+∞）上递增；
不等式f（cos2θ-3）+f（2m-sinθ）＞0恒成立
⇔不等式f（cos2θ-3）＞f（-2m+sinθ）恒成立
⇔不等式cos2θ-3＞-2m+sinθ恒成立
⇔2m＞2sin2θ+sinθ+2恒成立，
记g（θ）=2sin2θ+sinθ+2=2（sinθ+）2+，
g（θ）max=g（1）=5
∴2m＞5⇒m＞．
故答案为