Question

已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x+y）+2=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞2，f（3）=5，求不等式f（a²-2a-2）＜3的解．

Answer

本题考查的是抽象函数问题，已知抽象函数的运算性质，常用“赋值法”．有具体函数背景的抽象函数问题，如果是客观题，可以用具体函数求解．如本题：可设f（x）=kx+b，根据条件求出k、b，再解不等式．
【解析】
解抽象函数的不等式，需知函数的单调性；
用定义：任取x1＜x2，x2-x1＞0，则f（x2-x1）＞2
∴f（x2）+f（-x1）-2＞2
∴f（x2）+f（-x1）＞4；
对f（x+y）+2=f（x）+f（y）取x=y=0得：
f（0）=2，再取y=-x得f（x）+f（-x）=4即f（-x）=4-f（x），
∴有f（x2）+4-f（x1）＞4
∴f（x2）＞f（x1）
∴f（x）在R上递增，
又f（3）=f（2）+f（1）-2=f（1）+f（1）-2+f（1）-2=3f（1）-4=5
∴f（1）=3；
于是：不等式f（a2-2a-2）＜3等价于f（a2-2a-2）＜f（1）
∴a2-2a-2＜1
∴-1＜a＜3．
所以不等式的解集为：a|-1＜a＜3．