Question

北京奥运会纪念章特许专营店销售纪念章，每枚进价为5元，同时每销售一枚这种纪念章还需向北京奥组委交特许经营管理费2元，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时，该店一年可销售2000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元则增加销售400枚，而每增加一元则减少销售100枚，现设每枚纪念章的销售价格为x元（x∈N*）．
（Ⅰ）写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润y（元）与每枚纪念章的销售价格x的函数关系式（并写出这个函数的定义域）；
（Ⅱ）当每枚纪念章的销售价格x为多少元时，该特许专营店一年内利润y（元）最大，并求出这个最大值．

Answer

（Ⅰ）根据题意，每枚20元的基础上每减少一元则增加销售400枚，而每增加一元则减少销售100枚得到y与x的函数关系式，是一个分段函数．
（Ⅱ）分别求出各段函数的最大值比较最大得到最大值．
（Ⅰ）依题得y=x∈N+
y=
此函数的定义域为{x|7＜x＜40，x∈N*}
（Ⅱ）y=，
当7＜x≤20，则当x=16时，ymax=32400（元）；
当20＜x＜40，因为x∈N*，所以当x=23或24时，ymax=27200（元）；
综合上可得当x=16时，该特许专营店获得的利润最大为32400元．