Question

已知定理：“若a，b为常数，g（x）满足g（a+x）+g（a-x）=2b，则函数y=g（x）的图象关于点（a，b）中心对称”．设函数，定义域为A．
（1）试证明y=f（x）的图象关于点（a，-1）成中心对称；
（2）当x∈[a-2，a-1]时，求证：；
（3）对于给定的x₁∈A，设计构造过程：x₂=f（x₁），x₃=f（x₂），…，x_n+1=f（x_n）．如果x_i∈A（i=2，3，4…），构造过程将继续下去；如果x_i∉A，构造过程将停止．若对任意x₁∈A，构造过程都可以无限进行下去，求a的值．

Answer

本题的要求较高，需要理解新的定理，第（1）小问是对函数对称性的考查，第（2）小问是对函数值域求法的考查，相对比较容易，对于第（3）问要求理解构造的一个新数列的各项不会出现函数定义域A之外的元素，构造过程才可以继续，这就转化为恒成立的问题，进而分类讨论求出a．
（1）∵，∴．
由已知定理，得y=f（x）的图象关于点（a，-1）成中心对称．（3分）
（2）先证明f（x）在[a-2，a-1]上是增函数，只要证明f（x）在（-∞，a）上是增函数．
设-∞＜x1＜x2＜a，则，
∴f（x）在（-∞，a）上是增函数．再由f（x）在[a-2，a-1]上是增函数，得
当x∈[a-2，a-1]时，f（x）∈[f（a-2），f（a-1）]，即．（7分）
（3）∵构造过程可以无限进行下去，∴对任意x∈A恒成立．
∴方程无解，即方程（a+1）x=a2+a-1无解或有唯一解x=a．
∴或由此得到a=-1（13分）