Question

已知定义域为R的函数是奇函数．
（1）求a，b的值；
（2）讨论函数y=f（x）的单调性；
（3）若对任意的t∈[-3，3]，不等式f（2t²+4t）+f（k-t²）＜0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer

此题考查的是函数的奇偶性和单调性问题．在解答时可以充分利用解析式的特点和性质．对（1）可以利用奇函数的定义将问题转化为恒成立问题，利用对应系数相等获得解答，也可一通过奇函数在原点有意义时，f（0）=0入手解答；
对（2）直接利用求导公式求导，分析导函数的特点即可获得解答；
（3）可以首先将f（2t2+4t）+f（k-t2）＜0结合奇偶性转化为f（2t2+4t）＜f（-k+t2），从而转化出-k＞t2+4t再结合t的范围即可获得解答．
【解析】
方法一：
（1）由定义在R上的函数是奇函数得对一切x∈R，f（x）+f（-x）=0恒成立
即，
整理得（a+b）（3x）2+（ab+1）3x+a+b=0对任意x∈R恒成立，
故，解得，
又因为函数的定义域为R，故a=1，b=-1．
方法二：由题意可知f（0）=0，即1+b=0，b=-1，此时，
又由f（1）+f（-1）=0得a=1，此时，经检验满足f（-x）=-f（x）符合题意．
（2）由得恒成立，
故函数y=f（x）在R上为增函数．
（3）函数y=f（x）为奇函数且在R上为增函数
由f（2t2+4t）+f（k-t2）＜0得f（2t2+4t）＜-f（k-t2）2t2+4t＜t2-k（12分）-k＞t2+4t=（t+2）2-4对一切x∈[-3，3]恒成立
所以-k＞{（t+2）2-4}max，x∈[-3，3]，-k＞21，∴实数k的取值范围是k＜-21．