Question

过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F的直线l，交抛物线于A，B两点，交其准线于C点，若|CB|=2|BF|，且AF=3，则抛物线的方程为    ．

Answer

由于直线l的斜率未定，故可分直线的倾斜角为锐角或为钝角两种情况研究，作出图象，根据图象中的比例关系即可求出P值，得到抛物线的方程

【解析】
如图左，过A作AA'垂直准线于A'，BB'垂直准线于B'，准线与X轴的交点记为F'
由|CB|=2|BF|知，F为BC的中点，故FF'=BB'=BF=BC，
又△AA'C∽△CBB'，故有AA'：BB'=AC：BC*
由抛物线的性质知AA'=AF，BB'=BF，故*式可变为3：BF=（BF-3）：2BF
解得BF=9，即FF'=，即p=，
所以抛物线的方程是y2=9x
若情形为如图右，同理可解得即p=，
所以抛物线的方程是y2=3x
答案为：y2=3x或y2=9x