Question

f（x）是定义在（-∞，-5]∪[5，+∞）上的奇函数，且f（x）在[5，+∞）上单调递减，试判断f（x）在（-∞，-5]上的单调性，并用定义给予证明．

Answer

由奇函数的性质，在对称区间上单调性相同，知f（x）在（-∞，-5]上是减函数，再用定义法证明，定义法证明单调性的步骤：任取区间上两个自变量，作差，整理成几个因子的成绩，判断差的符号，得出结论，证明本题时沿用此五步书写证明步骤．
【解析】
奇函数在对称的区间上单调性相同，
f（x）在[5，+∞）上单调递减，
故f（x）在（-∞，-5]上是减函数，
证明如下：
任取x1＜x2≤-5，则-x1＞-x2≥5．
因f（x）在[5，+∞）上单调递减，
所以f（-x1）＜f（-x2）
又函数是奇函数，故有-f（x1）＜-f（x2即f（x1）＞f（x2），
∴f（x）在（-∞，-5]上单调减函数．