Question

设f（x）是定义在R上的函数，对任意x，y∈R，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求f（0）的值；
（2）求证f（x）为奇函数；
（3）若函数f（x）是R上的增函数，已知f（1）=1，且f（2a）＞f（a-1）+2，求a的取值范围．

Answer

（1）令x=0，代入f（x+y）=f（x）+f（y）可构造一个关于f（0）的方程，解方程即可得到答案；
（2）令y=-x，f（x+y）=f（x）+f（y），可得到f（-x）与f（x）的关系，结合函数奇偶性的定义即可得到结论；
（3）由f（1）=1，我们根据f（x+y）=f（x）+f（y），易得f（2）=2，故可将f（2a）＞f（a-1）+2转化为一个关于a的二次不等式，解不等式即可得到a的取值范围．
【解析】
（1）令y=x=0得
f（0）=2f（0）
∴f（0）=0
（2）令y=-x得f（0）=f（x）+f（-x）→f（-x）=-f（x）
又函数的定义域为R
∴f（x）为奇函数
（3）∵f（x+y）=f（x）+f（y）又f（1）=1
∴2=f（1）+f（1）=f（1+1）=f（2）
∴f（2a）＞f（a-1）+2即为f（2a）＞f（a-1）+f（2）
又f（a-1）+f（2）=f（a-1+2）=f（a+1）
∴f（2a）＞f（a+1）
又函数f（x）是R上的增函数
∴2a＞a+1得a＞1
∴a的取值范围是{a|a＞1}