设函数是奇函数，（a，b，c都是整数），且f（1）=2，f（2）＜3，f（x）在...

设函数

是奇函数，（a，b，c都是整数），且f（1）=2，f（2）＜3，f（x）在[1，+∞）上单调递增．
（1）求a，b，c的值；
（2）当x＜0时，f（x）的单调性如何？证明你的结论．

（1）求三个未知数，需要三个条件，一是定义域要关于原点对称，二是f（1）=2，三是f（2）＜3，f（x）在[1，+∞）上单调递增可解．（2）用单调性定义来探讨，先在给定的区间上任取两个变量，且界定大小，再作差变形，在与0比较中出现讨论，再进一步细化区间，确定后即为所求的单调区间．【解析】（1）∵f（x）为奇函数，故f（x）的定义域关于原点对称又f（x）的定义域为（显然b≠0，否则f（x）为偶函数） ∴，即c=0 于是得，且， ∴ ∴又b∈Z ∴b=1 ∴a=1 故a=b=1，c=0，符合f（x）在[1，+∞）上单调递增（2）由（1）知， = ①当-1＜x1＜x2＜0时，显然x1-x2＜0，0＜x1x2＜1，x1x2-1＜0 ∴f（x1）-f（x2）＞0 ∴f（x）为减函数 ②当x1＜x2＜-1时，显然x1-x2＜0，x1x2＞1，x1x2-1＞0 ∴f（x1）-f（x2）＜0 ∴f（x）为增函数综上所述，f（x）在（-∞，-1]上是增函数，在[-1，0）上是减函数．

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考点分析：

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函数f（x）对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）-1，且当x＜0时，f（x）＜1，
（1）求f（0）；
（2）求证：f（x）在R上为增函数；
（3）若f（4）=7，解不等式f（x²+x）＜4．

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设f（x）是定义在R上的函数，对任意x，y∈R，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求f（0）的值；
（2）求证f（x）为奇函数；
（3）若函数f（x）是R上的增函数，已知f（1）=1，且f（2a）＞f（a-1）+2，求a的取值范围．

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（2）试判断f（x）的奇偶性，并加以证明．

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（Ⅰ）试判断函数y=f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）试求方程f（x）=0在闭区间[-2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论．

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若函数f（x）对一切x、y都有f（x+y）=f（x）+f（y），
（1）试判断f（x）的奇偶性；
（2）若f（-3）=a，用a表示f（12）．

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试题属性

题型：解答题
难度：中等