Question

已知直线l过点（0，），且斜率为，抛物线C：y²=2px（p大于0）的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设A、B是抛物线C上两个动点，过A作平行于x轴的直线m，直线OB与直线m交于点N，若（O为原点，A、B异于原点），试求点N的轨迹方程．

Answer

（1）先求得直线l的方程，进而可得到原点垂直于l的直线方程，然后联立两方程求得其交点坐标，即可得到P的值，从而可确定抛物线的方程．
（2）先假设A，B，N的坐标，根据可得到关于A，B坐标之间的关系，再由A，B两点均在抛物线上得到y22=4x1，y22=4x2即可得到y1y2的值，再表示出直线ON，结合y22=4x1，y22=4x2和y1y2=-8可得到点N的轨迹．
【解析】
（1）由题意可得直线l：①
过原点垂直于l的直线方程为y=-2x②
解①②得．∵抛物线的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上．
∴，P=2∴抛物线C的方程为y2=4x．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），N（x，y），由，得x1x2+y1y2+4=0．
又y12=4x1，y22=4x2．解得y1y2=-8③
直线ON：，即④由③、④及y=y1得，
点N的轨迹方程为x=-2（y≠0）．