Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长为a，侧棱长为．
（1）建立适当的坐标系，并写出点A，B，A₁，C₁的坐标；
（2）求AC₁与侧面ABB₁A₁所成的角．

Answer

（1）以点A为坐标原点O，以AB所成直线为Oy轴，以AA1所在直线为Oz轴，以经过原点且与平面ABB1A1垂直的直线为Ox轴，建立空间直角坐标系，可求出A，B，A1，C1的坐标；
（2）取A1B1的中点M，易证AC1与AM所成的角就是AC1与侧面ABB1A1所成的角，求出与的坐标，利用向量的夹角公式求出此角即可．
【解析】
①如图，以点A为坐标原点O，以AB所成直线为Oy轴，
以AA1所在直线为Oz轴，以经过原点且与平面ABB1A1垂直的直线为Ox轴，建立空间直角坐标系．
由已知得A（0，0，0），B（0，a，0），，．
②坐标系如上，取A1B1的中点M，于是有，
连AM，MC1有=，
且=（0，a，0），=，
由•=0，•=0，
所以，MC1⊥面ABB1A1，
∴AC1与AM所成的角就是AC1与侧面ABB1A1所成的角．
∵=，=，
∴•=，==，=，
∴=，
所以，与所成的角，即AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°．