Question

已知{a_n}是由非负整数组成的数列，满足a₁=0，a₂=3，a_n+1a_n=（a_n-1+2）（a_n-2+2），n=3，4，5，…，
（1）求a₃；
（2）证明a_n=a_n-2+2，n=3，4，5，…；
（3）求{a_n}的通项公式及其前n项和S_n．

Answer

（1）由题设得a3a4=10，且a3、a4均为非负整数，所以a3的可能的值为1，2，5，10．然后逐个进行验证得a3=2．
（2）用数学归纳法进行证明，知对于所有k≥3，有ak+1=ak-1+2．
（3）由a2k-1=a2（k-1）-1+2，a1=0及a2k=a2（k-1）+2，a2=3，得a2k-1=2（k-1），a2k=2k+1，k=1，2，3，．
即an=n+（-1）n，n=1，2，3，所以．
【解析】
（1）由题设得a3a4=10，且a3、a4均为非负整数，所以a3的可能的值为1，2，5，10．
若a3=1，则a4=10，，与题设矛盾，
若a3=5，则a4=2，，与题设矛盾，
若a3=10，则a4=1，a5=60，，与题设矛盾，
所以a3=2．
（2）用数学归纳法证明，
①当n=3，a3=a1+2，等式成立，
②假设当n=k（k≥3）时等式成立，即ak=ak-2+2，
由题设ak+1ak=（ak-1+2）（ak-2+2），
∵ak=ak-2+2≠0，∴ak+1=ak-1+2，
也就是说，当n=k+1时，等式ak+1=ak-1+2成立．
根据①和②，对于所有k≥3，有ak+1=ak-1+2．
（3）由a2k-1=a2（k-1）-1+2，a1=0及a2k=a2（k-1）+2，a2=3，
得a2k-1=2（k-1），a2k=2k+1，k=1，2，3，
即an=n+（-1）n，n=1，2，3，
所以