Question

选做题：（甲、乙两题任选一题作答）
甲、如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长为a，侧棱长为．
（Ⅰ）建立适当的坐标系，并写出点A、B、A₁、C₁的坐标；
（Ⅱ）求AC₁与侧面ABB₁A₁所成的角

乙、如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直．点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a．
（Ⅰ）求MN的长；
（Ⅱ）当a为何值时，MN的长最小；
（Ⅲ）当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角α的大小．

Answer

甲、（I）由题意及图形建立空间直角坐标系，得出点的坐标；
    （II）利用向量知识得到MC1⊥面ABB1A1，在有线面角的定义，在三角形中得到所求的线面角的大小
乙、（I）由题意作MP∥AB交BC于点P，利用条件可以得到MNQP是平行四边形，进而求得求MN的长；
     （II）由（I），利用二次函数求出线段MN的长取最值时的a的值及此时M，N的位置；
      （III）取中点，利用等腰三角形得到垂直，利用二面角平面角的定义得到二面角的平面角，然后再三角形中解出角的大小即可．
甲、【解析】
（1）如图，以点A为坐标原点O，
以AB所在直线为Oy轴，以AA1所在直线为Oz轴，
以经过原点且与平面ABB1A1垂直的直线为Ox轴，建立空间直角坐标系．
由已知，得A（0，0，0），B（0，a，0），

（2）坐标系如上．取A1B1的中点M，
于是有，
连AM，MC1有，
且
由于
所以，MC1⊥面ABB1A1
∴AC1与AM所成的角就是AG1与侧面ABB1A1所成的角．
∵=，=
∴•=
而||=
||=
∴cos＜，＞=
所以，与所成的角，
即AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°
乙、【解析】
（1）作MP∥AB交BC于点P，
NQ∥AB交BE于点Q，连接PQ，依题意可得MP∥NQ，且MP=NQ，
即MNQP是平行四边形．
∴MN=PQ由已知，CM=BN=a，CB=AB=BE=1，
∴
即
∴
=
=
（2）由（1）
所以，当时，
即M，N分别移动到AC，BF的中点时，
MN的长最小，最小值为
（3）取MN的中点G，连接AG、BG，
∵AM=AN，BM=BN，∴AG⊥MN，BG⊥MN，
∴∠AGB即为二面角α的平面角．
又，
所以由余弦定理有．
故所求二面角．