Question

已知P（1，2）为圆x²+y²=9内一定点，过P作两条互相垂直的任意弦交圆于点B、C，则BC中点M的轨迹方程为    ．

Answer

设M（x，y），B（x1，y1），C（x2，y2），由题意知x1+x2=2x，y1+y2=2y=2y，x12+y12=9，x22+y22=9，再由PB⊥PC，得到x1x2+y1y2-2（y1+y2）-（x1+x2）+5=0，由此可知M轨迹方程．
【解析】
设M（x，y），B（x1，y1），C（x2，y2），
则x1+x2=2x，y1+y2=2y=2y，且x12+y12=9，x22+y22=9，
所以（x1+x2）2=x12+x22+2x1x2，（y1+y2）2=y12+y22+2y1y2，
上两式相加，得（2x）2+（2y）2=9+9+2x1x2+2y1y2，所以x1x2+y1y2=2x2+2y2-9
又PB⊥PC，所以，
得到x1x2+y1y2-2（y1+y2）-（x1+x2）+5=0，
代入得2x2+2y2-9-4y-2x+5=0，
所以M轨迹方程为x2+y2-x-2y-2=0．