Question

设O为坐标原点，曲线x²+y²+2x-6y+1=0上有两点P、Q，满足关于直线x+my+4=0对称，又满足•=0．
（1）求m的值；
（2）求直线PQ的方程．

Answer

（1）曲线x2+y2+2x-6y+1=0上有两点P、Q，满足关于直线x+my+4=0对称，说明曲线是圆，直线过圆心，易求m的值；
（2）设P（x1，y1）、Q（x2，y2），PQ方程为y=-x+b．联立方程组，结合韦达定理，以及•=0． 求得k的方程，然后求直线PQ的方程．
【解析】
（1）曲线方程为（x+1）2+（y-3）2=9表示圆心为（-1，3），半径为3的圆．
∵点P、Q在圆上且关于直线x+my+4=0对称，
∴圆心（-1，3）在直线上．代入得m=-1．
（2）∵直线PQ与直线y=x+4垂直，
∴设P（x1，y1）、Q（x2，y2），PQ方程为y=-x+b．
将直线y=-x+b代入圆方程，得2x2+2（4-b）x+b2-6b+1=0．
△=4（4-b）2-4×2×（b2-6b+1）＞0，得2-3＜b＜2+3．
由韦达定理得x1+x2=-（4-b），x1•x2=．
y1•y2=b2-b（x1+x2）+x1•x2=+4b．
∵•=0，∴x1x2+y1y2=0，
即b2-6b+1+4b=0．
解得b=1∈（2-3，2+3）．
∴所求的直线方程为y=-x+1．