Question

已知实数x、y满足方程x²+y²-4x+1=0．求
（1）的最大值和最小值；
（2）y-x的最小值；
（3）x²+y²的最大值和最小值．

Answer

（1）整理方程可知，方程表示以点（2，0）为圆心，以为半径的圆，设=k，进而根据圆心（2，0）到y=kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值．
（2）设y-x=b，仅当直线y=x+b与圆切于第四象限时，纵轴截距b取最小值．进而利用点到直线的距离求得y-x的最小值；
（3）x2+y2是圆上点与原点距离之平方，故连接OC，与圆交于B点，并延长交圆于C′，进而可知x2+y2的最大值和最小值分别为|OC′|和|OB|，答案可得．
【解析】
（1）如图，方程x2+y2-4x+1=0表示以点（2，0）为圆心，以为半径的圆．
设=k，即y=kx，由圆心（2，0）到y=kx的距离为半径时直线与圆相切，
斜率取得最大、最小值．由=，
解得k2=3．
所以kmax=，kmin=-．
（2）设y-x=b，则y=x+b，仅当直线y=x+b与圆切于第四象限时，纵轴截距b取最小值．
由点到直线的距离公式，得=，即b=-2±，
故（y-x）min=-2-．
（3）x2+y2是圆上点与原点距离之平方，故连接OC，与圆交于B点，并延长交圆于C′，可知B到原点的距离最近，点C′到原点的距离是大，此时有OB==2-，OC′==2+，
则（x2+y2）max=|OC′|2=7+4，（x2+y2）min=|OB|2=7-4．