Question

求过两点A（1，4）、B（3，2），且圆心在直线y=0上的圆的标准方程．并判断点M₁（2，3），M₂（2，4）与圆的位置关系．

Answer

要求圆的标准方程，只要求得圆心坐标和圆的半径即可，根据垂径定理可知圆心在线段AB的垂直平分线上，所以求出线段AB的中垂线方程与直线y=0联立即可求出圆心坐标，然后利用两点间的距离公式求出AO的长即为半径，然后分别求出M1和M2到圆心的距离与半径比较大小即可得到与圆的位置关系．
【解析】
因为圆过A、B两点，所以圆心在线段AB的垂直平分线上．由kAB==-1，
AB的中点为（2，3），
故AB的垂直平分线的方程为y-3=x-2，即x-y+1=0．
又圆心在直线y=0上，
因此圆心坐标是方程组的解，即圆心坐标为（-1，0）
．
半径r==，
所以得所求圆的标准方程为（x+1）2+y2=20．
因为M1到圆心C（-1，0）的距离为=，|M1C|＜r，所以M1在圆C内；而点M2到圆心C的距离|M2C|==＞，所以M2在圆C外．