Question

如图1，E，F分别是矩形ABCD的边AB，CD的中点，G是EF上的一点，将△GAB，△GCD分别沿AB，CD翻折成△G₁AB，△G₂CD，并连接G₁G₂，使得平面G₁AB⊥平面ABCD，G₁G₂∥AD，且G₁G₂＜AD、连接BG₂，如图2．
（I）证明：平面G₁AB⊥平面G₁ADG₂；
（II）当AB=12，BC=25，EG=8时，求直线BG₂和平面G₁ADG₂所成的角．

Answer

（I）由平面G1AB⊥平面ABCD，得G1E⊥平面ABCD，从而G1E⊥AD、又由AB⊥AD，得出AD⊥平面G1AB、从而证明平面G1AB⊥平面G1ADG2；（II）由（I）可知，G1E⊥平面ABCD、故可以建立以E为原点，分别以直线EB，EF，EG1为x轴、y轴、z轴空间直角坐标系，先求得各点的坐标，再求得向量的坐标，再由线面角的向量公式求解．
（I）证明：因为平面G1AB⊥平面ABCD，平面G1AB∩平面ABCD=AB，G1E⊥AB，G1E⊂平面G1AB，
所以G1E⊥平面ABCD，从而G1E⊥AD、又AB⊥AD，
所以AD⊥平面G1AB、因为AD⊂平面G1ADG2，所以平面G1AB⊥平面G1ADG2、

（II）【解析】
由（I）可知，G1E⊥平面ABCD、故可以E为原点，分别以直线EB，EF，EG1
为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），
由题设AB=12，BC=25，EG=8，则EB=6，EF=25，EG1=8，
相关各点的坐标分别是A（-6，0，0），D（-6，25，0），G1（0，0，8），B（6，0，0）．
所以，．
设是平面G1ADG2的一个法向量，
由得故可取．
过点G2作G2O⊥平面ABCD于点O，因为G2C=G2D，所以OC=OD，
于是点O在y轴上．
因为G1G2∥AD，所以G1G2∥EF，G2O=G1E=8．
设G2（0，m，8）（0＜m＜25），由172=82+（25-m）2，解得m=10，
所以．
设BG2和平面G1ADG2所成的角是θ，则．
故直线BG2与平面G1ADG2所成的角是．