Question

如图，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点P和居民区O的公路，点P所在的山坡面与山脚所在水平面α所成的二面角为θ（0°＜θ＜90°），且，点P到平面α的距离PH=0.4（km）．沿山脚原有一段笔直的公路AB可供利用、从点O到山脚修路的造价为a万元/km，原有公路改建费用为万元/km、当山坡上公路长度为lkm（1≤l≤2）时，其造价为（l²+1）a万元、已知OA⊥AB，PB⊥AB，AB=1.5（km），．
（I）在AB上求一点D，使沿折线PDAO修建公路的总造价最小；
（II）对于（I）中得到的点D，在DA上求一点E，使沿折线PDEO修建公路的总造价最小．
（III）在AB上是否存在两个不同的点D'，E'，使沿折线PD'E'O修建公路的总造价小于（II）中得到的最小总造价，证明你的结论、

Answer

对于（I）在AB上求一点D，使沿折线PDAO修建公路的总造价最小．这是一个实际应用题，需要先把复杂的图形转化为清晰的几何图形，然后设BD=x（km）．根据几何关系列出总造价为f1（x）的函数表达式，再根据配方法求出最小值即为所求．
对于（II）对于（I）中得到的点D，在DA上求一点E，使沿折线PDEO修建公路的总造价最小．设AE=y（km），，总造价为f2（y）万元，求出总造价的f2（y）的函数表达式，求出其导函数的方法，通过判断在区间上正负问题，讨论区间单调性．然后根据单调性求极值即可得到答案．
【解析】
（I）如图，PH⊥α，HB⊂α，PB⊥AB，
由三垂线定理逆定理知，AB⊥HB，
所以∠PBH是山坡与α所成二面角的平面角，
则∠PBH=θ，．
设BD=x（km），0≤x≤1.5，
则∈[1，2]．
记总造价为f1（x）万元，
据题设有=
当，即时，总造价f1（x）最小．
（II）设AE=y（km），，总造价为f2（y）万元，
根据题设有=、
则，由f2′（y）=0，得y=1．
当y∈（0，1）时，f2′（y）＜0，f2（y）在（0，1）内是减函数；
当时，f2′（y）＞0，f2（y）在内是增函数．
故当y=1，即AE=1（km）时总造价f2（y）最小，且最小总造价为万元．