Question

已知双曲线x²-y²=2的左、右焦点分别为F₁，F₂，过点F₂的动直线与双曲线相交于A，B两点．
（I）若动点M满足（其中O为坐标原点），求点M的轨迹方程；
（II）在x轴上是否存在定点C，使•为常数？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）先根据条件求出左、右焦点的坐标，并设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x，y），然后表示出向量，，，，根据可得到x1，x2，x以及y1，y2，y的关系，即可表示出AB的中点坐标，然后分AB不与x轴垂直和AB与x轴垂直两种情况进行讨论．

（2）假设在x轴上存在定点C（m，0），使为常数，当AB不与x轴垂直时，设出直线AB的方程，然后与双曲线方程联立消去y得到关于x的一元二次方程，进而可得到两根之和与两根之积，表示出向量•并将所求的两根之和与两根之积代入整理即可求出C的坐标；当AB与x轴垂直时可直接得到A，B的坐标，再由=-1，可确定答案．
【解析】
由条件知F1（-2，0），F2（2，0），设A（x1，y1），B（x2，y2）
（I）设M（x，y），则，，，
由，得，即，
于是AB的中点坐标为，
当AB不与x轴垂直时，，即，
又因为A，B两点在双曲线上，所以x12-y12=2，x22-y22=2，
两式相减得（x1-x2）（x1+x2）=（y1-y2）（y1+y2），即（x1-x2）（x-4）=（y1-y2）y，
将代入上式，化简得（x-6）2-y2=4，
当AB与x轴垂直时，x1=x2=2，求得M（8，0），也满足上述方程，
所以点M的轨迹方程是（x-6）2-y2=4．

（II）假设在x轴上存在定点C（m，0），使为常数，
当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是y=k（x-2）（k≠±1），
代入x2-y2=2有（1-k2）x2+4k2x-（4k2+2）=0
则x1，x2是上述方程的两个实根，所以，，
于是
=（k2+1）x1x2-（2k2+m）（x1+x2）+4k2+m2
=
=
=．
因为是与k无关的常数，所以4-4m=0，即m=1，此时=-1，
当AB与x轴垂直时，点A，B的坐标可分别设为，，
此时，
故在x轴上存在定点C（1，0），使为常数．