Question

已知A_n（a_n，b_n）（n∈N*）是曲线y=e^x上的点，a₁=a，S_n是数列{a_n}的前n项和，且满足S_n²=3n²a_n+S_n-1²，a_n≠0，n=2，3，4，…．
（I）证明：数列（n≤2）是常数数列；
（II）确定a的取值集合M，使a∈M时，数列{a_n}是单调递增数列；
（III）证明：当a∈M时，弦A_nA_n+1（n∈N*）的斜率随n单调递增．

Answer

（I）当n≥2时，由已知得Sn2-Sn-12=3n2an，由此可得，所以数列是常数数列．

（II）由题设条件可知a2=12-2a、a3+a2=15，a4+a3=21，所以a3=3+2a，a4=18-2a，数列{a2k}和{a2k+1}分别是以a2，a3为首项，6为公差的等差数列，所以a2k=a2+6（k-1），a2k+1=a3+6（k-1），a2k+2=a4+6（k-1）（k∈N*），再由数列{an}是单调递增数列能够推陈出a的取值集合．

（III）弦AnAn+1的斜率为，因为an＜an+1＜an+2，所以．因为．所以kn＜kn+1，即弦AnAn+1（n∈N*）的斜率随n单调递增．
【解析】
（I）当n≥2时，由已知得Sn2-Sn-12=3n2an，
因为an=Sn-Sn-1≠0，所以Sn+Sn-1=3n2①，
于是Sn+1+Sn=3（n+1）2②，
由②-①得an+1+an=6n+3③，
于是an+2+an+1=6n+9④，
由④-③得an+2-an=6⑤，
所以，即数列是常数数列．

（II）由①有S2+S1=12，所以a2=12-2a、由③有a3+a2=15，a4+a3=21，所以a3=3+2a，a4=18-2a．
而⑤表明：数列{a2k}和{a2k+1}分别是以a2，a3为首项，6为公差的等差数列，
所以a2k=a2+6（k-1），a2k+1=a3+6（k-1），a2k+2=a4+6（k-1）（k∈N*），
数列{an}是单调递增数列⇔a1＜a2且a2k＜a2k+1＜a2k+2对任意的k∈N*成立．⇔a1＜a2且a2+6（k-1）＜a3+6（k-1）＜a4+6（k-1）⇔a1＜a2＜a3＜a4．
即所求a的取值集合是．

（III）【解析】
弦AnAn+1的斜率为，
任取x，设函数，则，
记，则g'（x）=ex（x-x）+ex-ex=ex（x-x），
当x＞x时，g'（x）＞0，g（x）在（x，+∞）上为增函数，
当x＜x时，g'（x）＜0，g（x）在（-∞，x）上为减函数，
所以x≠x时，g（x）＞g（x）=0，从而f'（x）＞0，
所以f（x）在（-∞，x）和（x，+∞）上都是增函数．
由（II）知，a∈M时，数列{an}单调递增，
取x=an，因为an＜an+1＜an+2，所以．
取x=an+2，因为an＜an+1＜an+2，所以．
所以kn＜kn+1，即弦AnAn+1（n∈N*）的斜率随n单调递增．