Question

ABCD是长方形，四个顶点在平面α上的射影分别为A′、B′、C′、D′，直线A′B^′与C′D′不重合．①求证：A′B′C′D′是平行四边形；②在怎样的情况下，A′B′C′D′是长方形？证明你的结论．

Answer

①根据长方形在平面上的投影，知道点与投影的连线与平面α垂直，得到线与线平行，从而得到线与面平行，得到面与面平行，根据面面平行的性质定理得到两对对边互相平行，得到平行四边形．
②当长方形所在的平面与平面α平行时，投影图象是一个长方形，根据面与面平行，其中一个平面与一条线垂直，得到直线与另一个平面垂直，根据线面垂直得到线线垂直，得到投影的两条相邻边是垂直关系．
证明：①∵AA'⊥α，BB'⊥α，
∴AA'∥BB'，
∴AA'∥面BB'C'C．同理AD∥面BB'C'C，
∴面AA'D'D∥面BB'C'C，
∴A'D'∥B'C'
同理AA'∥C'D'．
∵A'B'与C'D'不重合，
∴A'B'C'D'为平行四边形．
②在ABCD∥α时，A'B'C'D'为长方形．
∵ABCD∥α，
∴AA'⊥ABCD，
∴A'A⊥AB，
∴AB⊥面AA'D'D．
∵AB∥A'B'，
∴A'B'⊥面AA'D'D，
∴B'A'⊥A'D'，
∴A'B'C'D'为长方形．