Question

已知二次函数f（x）=x²-ax+a（a≠0），不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素，设数列{a_n}的前n项和为S_n=f（n）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设各项均不为0的数列{c_n}中，满足c_i•c_i+1＜0的正整数i的个数称作数列{c_n}的变号数，令，求数列{c_n}的变号数．

Answer

（1）由题设条件知a2-4a=0⇒a=4，故f（x）=x2-4x+4．an=Sn-Sn-1=（n-2）2-（n-3）2=2n-5，所以．
（2）由题可得，，由此入手能够求出数列{cn}的变号数．
【解析】
（1）由于不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素，∴△=a2-4a=0⇒a=4，
故f（x）=x2-4x+4．（2分）
由题Sn=n2-4n+4=（n-2）2，
则n=1时，a1=S1=1；n≥2时，an=Sn-Sn-1=（n-2）2-（n-3）2=2n-5
故，．（6分）
（2）由题可得，
由c1=-3，c2=5，c3=-3，所以i=1，i=2都满足ci•ci+1＜0，（8分）
当n≥3时，cn+1＞cn，且，同时，
可知i=4满足cici+1＜0；n≥5时，均有cncn+1＞0．∴满足cici+1＜0的正整数i=1，2，4，故数列{cn}的变号数）．（12分）