Question

设G、M分别是△ABC的重心和外心，A（0，-a），B（0，a）（a＞0），且，
（1）求点C的轨迹方程；
（2）是否存在直线m，使m过点（a，0）并且与点C的轨迹交于P、Q两点，且？若存在，求出直线m的方程；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）设C（x，y），则G（），由题意知M（，0），再由M为△ABC的外心，可求出点C的轨迹方程．
（2）假设直线m存在，设方程为y=k（x-a），由得：（1+3k2）x2+6k2ax+3a2（k2-1）=0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），然后由根与系数的关系可以推出存在直线m，其方程为y=（x-a）．
【解析】
（1）设C（x，y），则G（），
因为，所以GM∥AB，则M（，0）
由M为△ABC的外心，则|MA|=|MC|，即，
整理得：；（5分）
（2）假设直线m存在，设方程为y=k（x-a），
由得：（1+3k2）x2+6k2ax+3a2（k2-1）=0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，
，
由得：x1x2+y1y2=0，
即，解之得k=±，
又点（a，0）在椭圆的内部，直线m过点（a，0），
故存在直线m，其方程为y=（x-a）．（12分）