Question

设曲线C的方程是y=x³-x，将C沿x轴、y轴正向分别平移t、s单位长度后，得到曲线C₁．
（1）写出曲线C₁的方程；
（2）证明：曲线C与C₁关于点A（，）对称．

Answer

（1）将C沿x轴、正向平移t单位长度后，x变为x-t，将C沿y轴正向平移s单位长度后，y 变为y-s；
（2）要证明曲线C1与C关于点A（，）对称，只需证明曲线C1上任意一个点关于A点的对称点都在曲线C上，曲线C上任意一个点关于A点的对称点都在曲线C1上即可．
（1）【解析】
根据题意，将C沿x轴、正向平移t单位长度后，x变为x-t，将C沿y轴正向平移s单位长度后，y 变为y-s；
则可得，C1：y-s=（s-t）3-（x-t）．①
（2）证明：设P1（x1，y1）为曲线C1上任意一点，
它关于点A（，）的对称点为：P（t-x1，s-y1），
把P点坐标代入曲线C的方程，左=s-y1，右=（t-x1）3-（t-x1）．
由于P1在曲线C1上，
∴y1-s=（x1-t）3-（x1-t）．
∴s-y1=（t-x1）3-（t-x1）
即点P（t-x1，s-y1）在曲线C上．
同理可证：曲线C上任意一点关于点A的对称点都在曲线C1上．
∴曲线C与C1关于点A（，）对称．