Question

已知函数f（x）=（x²+bx+c）e²，其中b，c∈R为常数．
（I）若b²＞4c-1，讨论函数f（x）的单调性；
（II）若b²≤4（c-1），且，试证：-6≤b≤2．

Answer

（1）可用导数的知识求其单调性，注意到对题目中条件b2＞4c-1的运用，即保证导函数有两个零点，再进行计算．
（2）注意到f′（0）=c，则上述极限式变形为=f′（0），再结合不等式求解．
【解析】
（I）求导得f′（x）=[x2+（b+2）x+b+c]e2
因b2＞4（c-1）．故方程f′（x）=0即x2+（b+2）x+b+c=0有两根．

令f′（x）＞0．解得x＜x1或x＞x2
又令f′（x）＜0．解得x1＜x＜x2
故当x∈（-∞，x1）时，f（x）是增函数；当x∈（x2，+∞）时，f（x）也是增函数；
但当x∈（x1，x2）时，f（x）是减函数
（II）易知f（0）=c，f'（0）=b+c，因此
所以，由已知条件得，因此b2+4b-12≤0
解得-6≤b≤2．