Question

已知定义域为R的函数f（x）满足f（f（x）-x²+x）=f（x）-x²+x．
（I）若f（2）=3，求f（1）；又若f（0）=a，求f（a）；
（Ⅱ）设有且仅有一个实数x，使得f（x）=x，求函数f（x）的解析表达式．

Answer

（I）由题意知f（f（2）-22+2）=f（2）-22+2，f（1）=1，由上此可推出f（a）=a．
（II）因为对任意x∈R，有f（f（x）-x2+x）=f（x）-x2+x．又因为有且只有一个实数x，使得f（x）=x
所以对任意x∈R，有f（x）-x2+x=x，因为f（x）=x，所以x-x2=0，故x=0或x=1．由此可推导出f（x）=x2-x+1（x∈R）．
【解析】
（I）因为对任意x∈R，有f（f（x）-x2+x）=f（x）-x2+x
所以f（f（2）-22+2）=f（2）-22+2
又由f（2）=3，得f（3-22+2）=3-22+2，即f（1）=1
若f（0）=a，则f（a-02+0）=a-02+0，即f（a）=a．
（II）因为对任意x∈R，有f（f（x）-x2+x）=f（x）-x2+x．
又因为有且只有一个实数x，使得f（x）=x
所以对任意x∈R，有f（x）-x2+x=x
在上式中令x=x，有f（x）-x2+x=x
又因为f（x）=x，所以x-x2=0，故x=0或x=1
若x=0，则f（x）-x2+x=0，即f（x）=x2-x
但方程x2-x=x有两个不相同实根，与题设条件矛盾．故x≠0
若x=1，则有f（x）-x2+x=1，即f（x）=x2-x+1．易验证该函数满足题设条件．
综上，所求函数为f（x）=x2-x+1（x∈R）