Question

已知一列椭圆．n=1，2…．若椭圆C_n上有一点P_n，使P_n到右准线l_n的距离d_n是{p_nF_n}与{P_nG_n}的等差中项，其中F_n、G_n分别是C_n的左、右焦点．
（I）试证：（n≥1）；
（II）取，并用S_n表示△P_nF_nG_n的面积，试证：S₁＜S₂且S_n＞S_n+1（n≥3）．

Answer

（I）由题设及椭圆的几何性质有2dn={PnFn}+{PnGn}=2，故dn=4．设，则右准线方程为．由题设条件能推出．即．从而证出对任意
（II）设点P的坐标为（xn，yn），由题设条件能够推出{FnGn}=2Gn，△PnFnGn的面积为Sn=Gn{y4}，由此入手能够证出S1＜S2，且Sn＞Sn+1（n≥3）．
证明：（I）由题设及椭圆的几何性质有2dn={PnFn}+{PnGn}=2，故dn=1．
设，则右准线方程为．
因此，由题意dn应满足．
即，解之得：．
即．从而对任意．

（II）设点P的坐标为（xn，yn），则由dn=1及椭圆方程易知
=．因{FnGn}=2Gn，
故△PnFnGn的面积为Sn=Gn{y4}，
从而．
令f（c）=-2c3+c2+2c-1．由f′（c）=-6c2+2c+2=0．
得两根．从而易知函数f（c）在内是增函数．
而在内是减函数．
现在由题设取，
则是增数列．
又易知．
故由前已证，知S1＜S2，且Sn＞Sn+1（n≥3）