Question

已知向量=（sinx，cosx+sinx），=（2cosx，cosx-sinx），x∈R，设函数f（x）=•．
（I）求的值及函数f（x）的最大值；
（II）求函数f（x）的单调递增区间．

Answer

（1）由已知中向量=（sinx，cosx+sinx），=（2cosx，cosx-sinx），x∈R，函数f（x）=•．我们根据平面向量数量积的运算法则，我们易求出函数f（x）的解析式，再结合正弦型函数的性质，我们即可求出求的值及函数f（x）的最大值；
（2）由（1）所得的f（x）的解析式，我们结合三角函数求值域的方法，构造关于相位ωx+φ的不等式组，求出满足条件的自变量的取值范围，即可得到函数f（x）的单调递增区间．
【解析】
（I）∵=（sinx，cosx+sinx），=（2cosx，cosx-sinx），
∴f（x）=•
=（sinx，cosx+sinx）•（2cosx，cosx-sinx）
=2sinxcosx+cos2x-sin2x
=sin2x+cos2x
=
∴=
∴函数f（x）的最大值为．
当且仅当（k∈Z）时
函数f（x）取得最大值为．
（II）由（k∈Z），
得（k∈Z）．
∴函数f（x）的单调递增区间为[]（k∈Z）