Question

将数列{a_n}的各项排成如图所示的三角形形状．
（Ⅰ）若数列{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列，写出图中第5行第5个数；
（Ⅱ）若函数f（x）=a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_nxⁿ，且f（1）=n²，求数列{a_n}的通项公式；
（III）设T_m为第m行所有项的和，在（II）的条件下，用含m的代数式表示T_m．

Answer

（Ⅰ）先利用条件求出数列{an}的通项，再判断出第5行第5个数是数列{an}的第15项即可．
（Ⅱ）由f（1）=n2⇒a1+a2+a3++an=n2．就是已知数列{an}的前n项和求其通项公式．代an=Sn-Sn-1 （n≥2）最后检验n=1时通项是否成立即可．
（III）由（Ⅱ）知数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列．且第m行所有项构成一个新的首项为m2-m+1，公差为2的等差数列，代入等差数列的求和公式即可．
【解析】
（Ⅰ）由题求得an=1+2（n-1）=2n-1，
又因为第5行第5个数是数列{an}的第15个项，
所以第5行第5个数是29．（2分）
（II）由f（1）=n2，得a1+a2+a3++an=n2．（3分）
设Sn是数列{an}的前n项和，
∴Sn=n2．
当n=1时，a1=S1=1，（5分）
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-（n-1）2=2n-1．（6分）
又当n=1时，2n-1=1=a1，
∴an=2n-1（n=1，2，）．（8分）
即数列{an}的通项公式是an=2n-1．
（III）由（II）知数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列．（9分）
∵前m-1行共有项，
∴第m行的第一项为．（11分）
∴第m行构成首项为m2-m+1，公差为2的等差数列，且有m项．
∴．（13分）