Question

已知O为坐标原点，点F的坐标为（1，0），点P是直线m：x=-1上一动点，
点M为PF的中点，点Q满足QM⊥PF，且QP⊥m．
（Ⅰ）求点Q的轨迹方程；
（Ⅱ）设过点（2，0）的直线l与点Q的轨迹交于A、B两点，
且∠AFB=θ．试问角θ能否等于？若能，求出相应的直线l的方程；若不能，请说明理由．

Answer

（I）设点Q（x，y），由已知得|QP|=|QF|，根据抛物线的定义知，动点Q在以F为焦点，以直线m为准线的抛物线上，点Q的轨迹方程为y2=4x（x≠0）．
（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，点A坐标为，点B坐标为，可以推出∠AFB．当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=k（x-2），它与抛物线y2=4x的交点坐标分别为A（x1，y1）、B（x2，y2）．由得k2x2-（4k2+4）x+4k2=0（k≠0）．得x1x2=4，y1y2=-8．由此推出θ角不能等于．
【解析】
（I）设点Q（x，y），由已知得点Q在FP的中垂线上，（1分）
即|QP|=|QF|，（2分）
根据抛物线的定义知，动点Q在以F为焦点，以直线m为准线的抛物线上，（4分）
∴点Q的轨迹方程为y2=4x（x≠0）．（6分）
（注：没有写出x≠0扣1分）
（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，点A坐标为，点B坐标为，
∵点F坐标为（1，0），可以推出∠AFB．（8分）
当直线l的斜率存在时，
设l的方程为y=k（x-2），它与抛物线y2=4x的交点坐标分别为A（x1，y1）、B（x2，y2）．
由得k2x2-（4k2+4）x+4k2=0（k≠0）．
得x1x2=4，y1y2=-8．（10分）
假定θ=p，则有cosθ=，
如图，即（*）
由定义得|AF|=x1+1，|BF|=x2+1．
从而有|AF|2+|BF|2-|AB|2
=（x1+1）2+（x2+1）2-（x1-x2）2-（y1-y2）2
=-2（x1+x2）-6．
∴|AF|•|BF|=（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=x1+x2+5，（12分）
将上式代入（*）得，即x1+x2+1=0．
这与x1＞0且x2＞0相矛盾．
综上，θ角不能等于．（14分）