Question

设函数f（x）=-x（x-a）²（x∈R），其中a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）当a≠0时，求函数f（x）的极大值和极小值；
（Ⅲ）当a＞3时，证明存在k∈[-1，0]，使得不等式f（k-cosx）≥f（k²-cos²x）对任意的x∈R恒成立．

Answer

（Ⅰ）求出f（2）和f′（2），利用点斜式写切线方程．
（Ⅱ）求导，令f′（x）=0，再考虑f（x）的单调性，求极值即可．
（Ⅲ）有（Ⅱ）可知当a＞3时f（x）为单调函数，利用单调性直接转化为k-cosx≤k2-cos2x恒成立，分离参数求解即可．
【解析】
（Ⅰ）【解析】
当a=1时，f（x）=-x（x-1）2=-x3+2x2-x，得f（2）=-2，且f'（x）=-3x2+4x-1，f'（2）=-5．
所以，曲线y=-x（x-1）2在点（2，-2）处的切线方程是y+2=-5（x-2），整理得5x+y-8=0．

（Ⅱ）【解析】
f（x）=-x（x-a）2=-x3+2ax2-a2xf'（x）=-3x2+4ax-a2=-（3x-a）（x-a）．
令f'（x）=0，解得或x=a．
由于a≠0，以下分两种情况讨论．
（1）若a＞0，当x变化时，f'（x）的正负如下表：

因此，函数f（x）在处取得极小值，且；
函数f（x）在x=a处取得极大值f（a），且f（a）=0．
（2）若a＜0，当x变化时，f'（x）的正负如下表：

因此，函数f（x）在x=a处取得极小值f（a），且f（a）=0；
函数f（x）在处取得极大值，且．

（Ⅲ）证明：由a＞3，得，当k∈[-1，0]时，k-cosx≤1，k2-cos2x≤1．
由（Ⅱ）知，f（x）在（-∞，1]上是减函数，要使f（k-cosx）≥f（k2-cos2x），x∈R
只要k-cosx≤k2-cos2x（x∈R）
即cos2x-cosx≤k2-k（x∈R）①
设，则函数g（x）在R上的最大值为2．
要使①式恒成立，必须k2-k≥2，即k≥2或k≤-1．
所以，在区间[-1，0]上存在k=-1，使得f（k-cosx）≥f（k2-cos2x）对任意的x∈R恒成立．