Question

设椭圆的左、右焦点分别为F₁，F₂，A是椭圆上的一点，C，原点O到直线AF₁的距离为．
（Ⅰ）证明；
（Ⅱ）求t∈（0，b）使得下述命题成立：设圆x²+y²=t²上任意点M（x，y）处的切线交椭圆于Q₁，Q₂两点，则OQ₁⊥OQ₂．

Answer

证法一：设点A（c，y），y＞0，由题设条件能够推导出，直线AF2的方程为，再由原点O到直线AF1的距离得到，由此可得．
证法二：由题设知A，由椭圆定义得|AF1|+|AF2|=2a，又，所以，解得，而，由此能够导出．
（Ⅱ）圆x2+y2=t2上的任意点M（x，y）处的切线方程为xx+yy=t2．当t∈（0，b）时，圆x2+y2=t2上的任意点都在椭圆内，故此圆在点A处的切线必交椭圆于两个不同的点Q1和Q2，因此点Q1（x1，y1），Q2（x2，y2）的坐标是方程组
的解．当y≠0时，由①式得代入②式，得，然后结合题设条件利用根与系数的关系进行求解．
【解析】
（Ⅰ）证法一：由题设AF2⊥F1F2及F1（-c，0），
F2（c，0），不妨设点A（c，y），
其中y＞0，由于点A在椭圆上，
有，，
解得，从而得到，
直线AF2的方程为，
整理得b2x-2acy+b2c=0．
由题设，原点O到直线AF1的距离为，
即，
将c2=a2-b2代入原式并化简得a2=2b2，即．

证法二：同证法一，得到点A的坐标为，
过点O作OB⊥AF1，垂足为H，易知△F1BC∽△F1F2A，
故
由椭圆定义得|AF1|+|AF2|=2a，又，
所以，
解得，而，
得，即；

（Ⅱ）圆x2+y2=t2上的任意点M（x，y）
处的切线方程为xx+yy=t2．
当t∈（0，b）时，圆x2+y2=t2上的任意点都在椭圆内，
故此圆在点A处的切线必交椭圆于两个不同的点Q1和Q2，
因此点Q1（x1，y1），Q2（x2，y2）的坐标是方程组
的解．
当y≠0时，由①式得
代入②式，得，
即（2x2+y2）x2-4t2xx+2t4-2b2y2=0，
于是，

=
=
=．若OQ1⊥OQ2，
则．
所以，3t4-2b2（x2+y2）=0．由x2+y2=t2，得3t4-2b2t2=0．
在区间（0，b）内此方程的解为．
当y=0时，必有x≠0，同理求得在区间（0，b）内的解为．
另一方面，当时，可推出x1x2+y1y2=0，从而OQ1⊥OQ2．
综上所述，使得所述命题成立．