Question

已知有穷数列{a_n}共有2k项（整数k≥2），首项a₁=2．设该数列的前n项和为S_n，且a_n+1=（a-1）S_n+2（n=1，2，┅，2k-1），其中常数a＞1．
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）若a=2，数列{b_n}满足b_n=（n=1，2，┅，2k），求数列{b_n}的通项公式；
（3）若（2）中的数列{b_n}满足不等式|b₁-|+|b₂-|+┅+|b_2k-1-|+|b_2k-|≤4，求k的值．

Answer

（1）要利用分类讨论的思想，分别对n=1时和2≤n≤2k-1时进行讨论，进而获得an与an+1的关系，故可获得问题的解答；
（2）首先利用（1）的结论和条件获得an的表达式，然后对a1a2…an进行化简，结合对数运算即可获得数列{bn}的通项公式；
（3）首先利用分类讨论对的大小进行判断，然后对所给不等式去绝对值，即可找到关于k的不等式，进而问题即可获得解答．
【解析】
由题意：
（1）证明：
当n=1时，a2=2a，则=a；
当2≤n≤2k-1时，an+1=（a-1）Sn+2，an=（a-1）Sn-1+2，
∴an+1-an=（a-1）an，
∴=a，
∴数列{an}是等比数列．
（2）【解析】
由（1）得an=2an-1，
∴a1a2an=2n a1+2+…+（n-1）=2n=，
bn=（n=1，2，2k）．
（3）设bn≤，解得n≤k+，又n是正整数，于是当n≤k时，bn＜；
当n≥k+1时，bn＞．
原式=（-b1）+（-b2）++（-bk）+（bk+1-）++（b2k-）
=（bk+1++b2k）-（b1++bk）
==．
当≤4，得k2-8k+4≤0，4-2≤k≤4+2，又k≥2，
∴当k=2，3，4，5，6，7时，
原不等式成立．