Question

已知函数y=x+有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在（0，]上是减函数，在[，+∞）上是增函数．
（1）如果函数y=x+（x＞0）的值域为[6，+∞），求b的值；
（2）研究函数y=x²+（常数c＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；
（3）对函数y=x+和y=x²+（常数a＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数F（x）=+（n是正整数）在区间[，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．

Answer

（1）函数y=x+（x＞0）的最小值是2=6，由此可求出b的值．
（2）设0＜x1＜x2，y2-y1=．由此入手经过讲座可知该函数在（-∞，-]上是减函数，在[-，0）上是增函数．
（3）可以把函数推广为y=（常数a＞0），其中n是正整数．当n是奇数时，函数y=在（0，]上是减函数，在[，+∞）上是增函数，在（-∞，-]上是增函数，在[-，0）上是减函数；当n是偶数时，函数y=在（0，]上是减函数，在[，+∞）上是增函数，在（-∞，-]上是减函数，在[-，0）上是增函数．并且由函数的单调性可求出当x=1时F（x）取得最小值2n+1．
【解析】
（1）函数y=x+（x＞0）的最小值是2，则2=6，
∴b=log29．
（2）设0＜x1＜x2，y2-y1=．
当＜x1＜x2时，y2＞y1，函数y=在[，+∞）上是增函数；
当0＜x1＜x2＜时y2＜y1，函数y=在（0，]上是减函数．
又y=是偶函数，于是，
该函数在（-∞，-]上是减函数，在[-，0）上是增函数；
（3）可以把函数推广为y=（常数a＞0），其中n是正整数．
当n是奇数时，函数y=在（0，]上是减函数，在[，+∞）上是增函数，
在（-∞，-]上是增函数，在[-，0）上是减函数；
当n是偶数时，函数y=在（0，]上是减函数，在[，+∞）上是增函数，
在（-∞，-]上是减函数，在[-，0）上是增函数；
F（x）=+
=+…+，
因此F（x）在[，1]上是减函数，在[1，2]上是增函数．
所以，当x=或x=2时，F（x）取得最大值（）n+（）n；
当x=1时F（x）取得最小值2n+1；