Question

如图，在正三棱锥S-ABC中，M、N分别为棱SC、BC的中点，并且AM⊥MN，若侧棱长SA=，则正三棱锥S-ABC的外接球的表面积为（ ）

A．9π
B．12π
C．16π
D．32π

Answer

由题意推出MN⊥平面SAC，即SB⊥平面SAC，∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径，求出直径即可求出球的表面积．
【解析】
∵三棱锥S-ABC正棱锥，∴SB⊥AC（对棱互相垂直）∴MN⊥AC
又∵MN⊥AM而AM∩AC=A，∴MN⊥平面SAC即SB⊥平面SAC
∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球
∴2R=，∴R=，∴S=4πR2=，
故选A．