Question

在数列{a_n}中，a₁=1，a₂=，S_n是数列{a_n}的前n项和．当n≥2且n∈N^*时，．
（1）求数列{a_n}的通项公式；试用n和b_n表示b_n+1；
（2）若b₁=1，n∈N^*，证明：．
（3）当n∈N^*时，证明．

Answer

（1）由Sn+1（Sn+1-2Sn）+（2Sn-Sn-1）Sn-1=1，得an+12-an2=1（n≥2，n∈N*），所以an2=n，∴．
（2）当n≥2时，由，知，，综上所述，对一切n∈N*，不等式都成立．
（3）先把原式转化为≤3n-1，再用数学归纳法进行证明．
（1）【解析】
由Sn+1（Sn+1-2Sn）+（2Sn-Sn-1）Sn-1=1
得（Sn+1-Sn）2-（Sn-Sn-1）2=1，即an+12-an2=1（n≥2，n∈N*）
∴数列{an2}是首项为1，公差为1的等差数列
于是an2=n，∴（4分）
（2）证明：当n≥2时，∵
∴．∴
∴（3分）
当n=1时，，不等式成立；
当n≥2时，由（1）得
∴
又当k≥2时，
∴
于是当n≥2时，
综上所述，对一切n∈N*，不等式都成立．（10分）
（3）证明：原式=≤3n-1．
用数学归纳法证明：
①当n=2时，，结论成立．
②假设n=k时，结论成立，即≤3k-1．
当n=k+1时，+≤3k-1+≤3k．结论也成立．
由①②知，原式=≤3n-1．