Question

已知函数f（x）=x²-4，设曲线y=f（x）在点（x_n，f（x_n））处的切线与x轴的交点为（x_n+1，0）（n∈N*），其中x₁为正实数．
（Ⅰ）用x_n表示x_n+1；
（Ⅱ）证明：对一切正整数n，x_n+1≤x_n的充要条件是x₁≥2
（Ⅲ）若x₁=4，记，证明数列{a_n}成等比数列，并求数列{x_n}的通项公式．

Answer

（1）先对函数f（x）=x2-4进行求导，进而可得到过曲线上点（x，f（x））的切线方程，然后令y=0得到关系式xn2+4=2xnxn+1，整理即可得到答案．

（2）先由xn+1≤xn得到x2≤x1，再结合（1）中的结果可得到，最后根据x1＞0可得到必要性的证明；
由用数学归纳法可证明xn+1≤xn对一切正整数n成立．

（3）先由得到和，然后两式相除可得到后再两边取对数，求得an+1=2an，进而可知数列{an}成等比数列，根据等比数列的通项公式求得an，代入即可求得数列{xn}的通项公式．
【解析】
（Ⅰ）由题可得f′（x）=2x
所以过曲线上点（x，f（x））的切线方程为y-f（xn）=f′（xn）（x-xn），
即y-（xn-4）=2xn（x-xn）
令y=0，得-（xn2-4）=2xn（xn+1-xn），即xn2+4=2xnxn+1
显然xn≠0∴

（Ⅱ）证明：（必要性）
若对一切正整数n，xn+1≤xn，则x2≤x1，即，而x1＞0，∴x12≥4，即有x1≥2
（充分性）若x1≥2＞0，由
用数学归纳法易得xn＞0，从而，即xn≥2（n≥2）
又x1≥2∴xn≥2（n≥2）
于是=，
即xn+1≤xn对一切正整数n成立

（Ⅲ）由，知，同理，
故
从而，即an+1=2an
所以，数列{an}成等比数列，故，
即，从而
所以．